Pagi-Pagi Belajar Matematika

Tauhid Nur Azhar

Ada satu kanal di You Tube yang sedang saya sukai. Namanya Gradient, dalam deskripsinya di YT mereka menuliskan maksud dan tujuan dari penayangan konten mereka sebagai berikut;

Kami membuat orang cinta belajar dan membantu mereka mencapai potensi maksimalnya. Kami percaya belajar tidak harus membosankan. Belajar seharusnya menyenangkan dan menginspirasi. Membantu kita untuk melihat dunia dari perspektif yang berbeda. Karena itu, kami mengumpulkan pengajar terbaik dari tiap disiplin. Melengkapi dengan metodologi belajar yang terbukti untuk memastikan setiap murid dapat mengerti materi yang diberikan.

Salah satu pemateri favorit saya adalah dosen matematika dari FMIPA ITB, Pak Johan Matheus Tuwankotta. Sistematika pengajarannya mudah dimengerti, narasinya bernas, pemilihan diksi dan ilustrasi pas, model belajar dengan curat-coret di atas papan tulis membimbing kita sebagai penonton untuk bersama menyelancari formula demi formula dan memecahkan berbagai persamaan secara bertahap sesuai dengan sistematika berpikir yang terstruktur.

Singkat kata kita jadi paham esensi dan bukan sekedar bisa mengkalkulasi tanpa mendalami makna dari berbagai jenis operasi matematika. Bahkan dengan mengerti dan memahami itu kita jadi bisa menerapkannya sebagai bagian dari solusi problematika sehari-hari, ataupun bahkan membuat kita punya fondasi dan metodologi untuk berfilosofi.

Contohnya saat Pak Johan menjelaskan konsep bilangan dengan contoh operasi aritmetika pembagian. 1/0 jelas beliau bukan tak berhingga, melainkan tak terdefinisikan. Karena bila hasilnya tak berhingga, maka tak berhingga kali 0 hasilnya 1.

Mendengar penjelasan itu saya tersenyum, sembari pikiran mengembara ke mana-mana. Termasuk menjelajahi alam kasunyatan dimana terinspirasi dari penyataan Pak Johan itu muncul premis teologis di benak saya: yang 1 itu adalah hasil perkalian ketiadaan (0) dan tak berhinggaan. Dengan kata lain menghilangkan konsep keakuan (eksistensi) dan melebur dalam ketidakterbatasan adalah jalan menemukan yang satu.

Terlepas dari pikiran yang mengembara dalam dunia premis dan asumsi, mari kita sejenak kembali dan menjejak bumi. Dalam konteks matematika yang berada di dimensi realitas, semua proses operasi dan fungsi berawal dari kodifikasi dan kuantifikasi melalui simbol angka dan bilangan.

Dalam matematika kita mengenal bilangan real. Yaitu himpunan semua bilangan yang dapat direpresentasikan pada garis bilangan, termasuk bilangan bulat, pecahan, dan bilangan desimal yang dapat diakhiri atau berlanjut tak terhingga. Dalam representasi grafis, bilangan real terletak di sepanjang sumbu bilangan. Ini mencakup semua bilangan rasional dan irasional.

Contoh bilangan real antara lain adalah:

1. Bilangan bulat: 0, -3, 5

2. Bilangan pecahan: 1/2, -3/4, 2.5

3. Bilangan desimal berulang: 0.333…, -1.75

4. Bilangan desimal berlanjut tak terhingga: π (pi), √2 (akar dua), √3 (akar tiga)

Seiring dengan perkembangan kapasitas manusia dalam mengelaborasi ilmu matematika, kita tak hanya mengenal bilangan real saja. Selain bilangan real, terdapat jenis bilangan lainnya, yang antara lain adalah:

1. Bilangan Bulat, yaitu bilangan yang tidak memiliki pecahan, seperti bilangan positif, negatif, dan nol.

2. Bilangan Rasional yaitu bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebut yang merupakan bilangan bulat, misalnya 3/4, -5, atau 2.

3. Bilangan Irasional yaitu bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan dengan pembilang dan penyebut yang merupakan bilangan bulat. Contohnya adalah √2, √3, dan π.

4. Bilangan Imaginer yaitu bilangan yang melibatkan akar dari bilangan negatif, misalnya √(-1). Bilangan kompleks terdiri dari bagian riil dan bagian imajiner.

5. Bilangan Kompleks yaitu bilangan yang terdiri dari bagian riil dan bagian imajiner. Bentuk umumnya adalah a + bi, di mana a adalah bagian riil dan bi adalah bagian imajiner.

6. Bilangan Transenden yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai solusi dari suatu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Contohnya adalah e (bilangan Euler) dan π.

Matematika sebagaimana kita ketahui kemudian berkembang menjadi disiplin ilmu yang boleh dikatakan menjadi dasar bagi perkembangan peradaban yang dipantik oleh teknologi.

Hampir semua perkembangan teknologi didasarkan pada penerapan ilmu matematika. Demikian pula berbagai bidang lain yang kerap dinisbatkan sebagai bagian dari rumpun humaniora seperti ekonomi. Hampir tak ada ilmu dasar dan terapan yang tak menggunakan prinsip-prinsip matematika. Ambil contoh statistika yang merupakan bagian tak terpisahkan dari metodologi penelitian yang mendasari semua perkembangan keilmuan yang dikonstruksi melalui riset dan pembuktian.

Ada banyak fungsi dalam matematika yang kemudian digunakan dalam berbagai metode seperti ekonometrika, permodelan forecasting, perancangan struktur dll. Salah satu yang banyak digunakan di balik pengembangan ilmu terapan adalah fungsi limit.

Dalam matematika, konsep limit menggambarkan perilaku suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Secara formal, limit dari sebuah fungsi {f(x)} saat {x}mendekati {a} adalah nilai yang fungsi tersebut mendekati saat {x} mendekati {a}, meskipun tidak pernah mencapai {a} secara langsung.

Dalam simbol matematika, limit {f(x)} saat {x} mendekati {a} dapat ditulis sebagai:

Lim x_a f(x) = L

Ini berarti nilai ( f(x)) mendekati ( L) saat ( x) mendekati ( a).

Ada beberapa jenis limit, seperti limit dari kanan, limit dari kiri, dan limit tak hingga. Konsep limit penting dalam analisis matematika, dan digunakan dalam berbagai konteks, termasuk diferensiasi, integral, dan dalam pemahaman perilaku fungsi pada titik-titik kritis.

Apa itu diferensial dan integral? Konsep diferensial dan integral adalah dua konsep kunci dalam kalkulus, cabang matematika yang mempelajari perubahan dan akumulasi.

1. Diferensial berkaitan dengan perubahan suatu fungsi. Turunan adalah operasi diferensial yang mengukur laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Turunan menghasilkan turunan fungsi asli yang menggambarkan gradien (atau kecuraman) fungsi pada titik tertentu.

2. Integral adalah kebalikan dari diferensial. Integral mengukur akumulasi atau total area di bawah kurva suatu fungsi dalam interval tertentu. Ini digunakan untuk menemukan luas wilayah, volume benda, atau nilai rata-rata suatu fungsi.

Keduanya saling terkait melalui Teorema Dasar Kalkulus, yang menyatakan bahwa integral dari turunan suatu fungsi adalah fungsi asli itu sendiri. Integral dan diferensial banyak digunakan dalam berbagai bidang matematika dan fisika untuk memodelkan dan memecahkan masalah yang melibatkan perubahan dan akumulasi.

Lalu apa peran teorema dasar kalkulus dalam pengembangan teknologi? Di sektor apa sajakah kalkulus dibutuhkan dan perlu diterapkan? Salah satunya di bidang yang kini teramat seksi: teknologi informasi.

Teori kalkulus memiliki berbagai aplikasi dalam pemrograman komputer, terutama dalam bidang ilmu komputer dan teknik perangkat lunak. Beberapa aplikasi utamanya termasuk:

1. Optimisasi, kalkulus digunakan dalam pemrograman optimisasi untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Ini dapat diterapkan dalam algoritma pencarian seperti algoritma pencarian linier dan biner.

2. Grafik Komputer, kalkulus dapat digunakan pula dalam pembuatan grafik komputer untuk menghitung gradien pada setiap titik pada permukaan objek 3D, yang membantu dalam pencahayaan, pewarnaan, dan rendering.

3. Analisis Numerik, kalkulus kerap digunakan juga dalam analisis numerik untuk memecahkan persamaan diferensial, integral, dan masalah matematika lainnya yang terkait dengan pemodelan dan simulasi.

4. Machine Learning dan Kecerdasan Buatan, dalam bidang machine learning, teknik-teknik seperti gradien turun (gradient descent) digunakan untuk menemukan model yang optimal dengan meminimalkan fungsi biaya. Ini melibatkan konsep turunan yang mendasari dari kalkulus.

5. Pemrosesan Sinyal, dalam pemrosesan sinyal, seperti pada kompresi gambar dan audio, kalkulus digunakan untuk mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi, yang memungkinkan analisis dan manipulasi lebih lanjut.

Dengan demikian, pemahaman konsep-konsep kalkulus memungkinkan para pengembang perangkat lunak untuk merancang algoritma yang lebih efisien, menerapkan teknik optimisasi, dan memahami dasar-dasar dalam bidang seperti machine learning dan pemrosesan sinyal.

Khusus dalam konteks kecerdasan artifisial atau AI, teorema dasar kalkulus memainkan peran penting dalam pengembangan dan pemahaman model deep learning/DL yang merupakan salah satu subset dari machine learning. Beberapa peran kalkulus dalam pengembangan DL antara lain adalah sebagai berikut:

1. Optimisasi DL sering melibatkan optimisasi fungsi tujuan (misalnya, fungsi biaya) untuk menyesuaikan parameter model agar sesuai dengan data pelatihan. Teorema kalkulus digunakan untuk menghitung gradien fungsi tujuan terhadap parameter model, yang digunakan dalam algoritma pelatihan seperti gradien turun (gradient descent) dan variasinya (misalnya, gradien turun stokastik, Adam, dll.).

2. Backpropagation Algoritma backpropagation adalah teknik yang paling umum digunakan untuk melatih model DL. Ini melibatkan propagasi gradien melalui jaringan untuk menghitung gradien fungsi biaya terhadap setiap parameter. Konsep dasar dalam backpropagation adalah aturan rantai (chain rule) dalam kalkulus, yang memungkinkan kita untuk menghitung gradien dari output ke input jaringan secara efisien.

3. Fungsi Aktivasi antara lain digunakan dalam lapisan jaringan syaraf tiruan (misalnya, ReLU, sigmoid, tanh) memiliki turunan yang diperlukan untuk menghitung gradien selama fase backpropagation. Ini membutuhkan pemahaman tentang turunan fungsi-fungsi ini, yang merupakan konsep kalkulus.

4. Regularisasi teknik regularisasi seperti dropout dan L2 regularization digunakan untuk mencegah overfitting dalam model DL. Kedua teknik ini melibatkan penambahan istilah ke fungsi tujuan, yang mempengaruhi perhitungan gradien dan membutuhkan pengetahuan tentang derivatif.

Apakah matematika dan ilmu turunannya hanya bermanfaat dalam teknologi informasi saja? Tentu tidak. Sadarkah kita bahwa kita hidup dalam konsep ruang dan waktu di semesta yang di dalamnya berlaku hukum-hukum fisika? Semua hukum, aksioma, serta konsep terkait ruang dan waktu tak terlepas dari peran matematika, khususnya Geometri. Kita kerap mendengar tentang geometri Euclidean bukan?

Geometri Euclides atau Geometri Euclidean adalah cabang geometri yang didasarkan pada aksioma dan postulat yang diajukan oleh matematikawan Yunani kuno, Euclides.

Geometri ini berfokus pada ruang dua dimensi dan tiga dimensi yang kita alami dalam kehidupan sehari-hari.

Di Geometri Euclides, garis lurus adalah jalur terpendek antara dua titik, sudut adalah pembukaan antara dua garis, dan bidang adalah permukaan datar yang tak terbatas.

Aksioma Euclid yang terkenal adalah aksioma tentang garis paralel, yang menyatakan bahwa dari titik di luar sebuah garis, hanya ada satu garis sejajar yang dapat dilalui oleh garis tersebut. Geometri Euclides juga memperkenalkan konsep-konsep seperti lingkaran, segitiga, persegi panjang, dan banyak lagi.

Geometri Euclidean menjadi dasar bagi banyak cabang matematika dan memiliki aplikasi luas dalam fisika, arsitektur, teknik, dan ilmu komputer. Meskipun demikian, pada abad ke-19, matematikawan seperti Lobachevsky dan Riemann mengembangkan geometri non-Euclidean, yang menggambarkan ruang dengan aksioma yang berbeda dari yang diajukan oleh Euclid.

Geometri Non-Euclidean, pertama kali dikembangkan oleh matematikawan bernama Bernhard Riemann. Dimana geometri non Euclidean adalah cabang geometri yang memperluas kerangka kerja geometri Euclidean dengan mengubah salah satu atau lebih aksioma dasarnya. Dalam geometri non-Euclidean, aksioma dasar Euclid tentang garis lurus, sudut, dan bidang tidak selalu berlaku.

Riemann memperkenalkan ide geometri non-Euclidean dengan menyatakan bahwa geometri tidak harus terbatas pada ruang datar, tetapi dapat berlaku untuk ruang-ruang dengan kurvatur yang berbeda. Ini menyebabkan pengembangan dua bentuk geometri non-Euclidean utama:

1. Geometri Eliptik, dalam konsep geometri ini, garis lurus tidak sejajar dan jumlah total sudut segitiga lebih dari 180 derajat. Salah satu contoh ruang geometri eliptik adalah permukaan bola, di mana garis lintang adalah garis terpendek antara dua titik, dan “garis-garis bujur” memutar ke arah utara dan selatan.

2. Geometri Hiperbolik, dalam konsep geometri ini, jumlah total sudut segitiga kurang dari 180 derajat, dan ada lebih dari satu garis paralel yang dapat dilalui oleh garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut. Salah satu contoh ruang geometri hiperbolik adalah permukaan kursi kuda.

Geometri non-Euclidean telah menjadi dasar bagi pemahaman modern tentang ruang dan digunakan dalam berbagai bidang, termasuk fisika relativitas, kosmologi, dan dalam pengembangan algoritma dan model dalam ilmu komputer.

Mari kita lihat peran dan hubungan antara geometri non Euclidean dengan konsep teori Relativitas yang dikembangkan oleh Albert Einstein. Hubungan antara geometri non-Euclidean dengan teori relativitas Einstein adalah sangat dekat. Dalam teori relativitas khusus dan umum yang dikembangkan oleh Albert Einstein, konsep ruang dan waktu diubah secara mendasar dari kerangka kerja Newtonian yang menggunakan geometri Euclidean.

1. Geometri Ruang-Waktu, dalam teori relativitas khusus, Einstein mengajukan konsep ruang dan waktu sebagai satu kesatuan yang disebut ruang-waktu Minkowski, yang memiliki sifat non-Euclidean. Ruang-waktu Minkowski menggabungkan tiga dimensi ruang dan satu dimensi waktu dalam kerangka kerja geometri non-Euclidean.

2. Kurva Ruang dan Waktu, dalam teori relativitas umum, Einstein menunjukkan bahwa keberadaan benda-benda bermassa memengaruhi geometri ruang dan waktu di sekitarnya. Konsep ini dikenal sebagai prinsip equivalensi dan menyebabkan konsep gravitasi sebagai kelengkungan ruang-waktu. Dalam relativitas umum, ruang-waktu tidak lagi diperlakukan sebagai ruang Euclidean, melainkan sebagai manifold yang memiliki kurvatur yang berubah-ubah.

3. Pemodelan Matematika, konsep-konsep dalam relativitas umum dapat dimodelkan dengan menggunakan alat-alat matematika yang dikembangkan dalam geometri non-Euclidean, seperti teori tensor dan geometri diferensial. Ini memungkinkan para fisikawan untuk memahami dan memodelkan efek gravitasi dalam kerangka kerja matematika yang lebih abstrak.

Dengan demikian, geometri non-Euclidean memainkan peran kunci dalam pengembangan teori relativitas Einstein dan membantu kita memahami struktur ruang-waktu serta fenomena gravitasi dengan lebih baik.

Demikianlah sekilas uraian tentang matematika pagi ini. Sebenarnya apa yang disampaikan di atas dengan sedikit contoh penerapannya di bidang teknologi informasi dan fisika, barulah sebagian kecil dari begitu besarnya kontribusi matematika dalam konstruksi ilmu pengetahuan, teknologi, dan peradaban yang kita jalani hari ini.

Bagian terpenting dari proses belajar matematika menurut penulis, adalah memahami konsep dasarnya, dan bukan sekedar menyelesaikan perhitungan dari berbagai jenis fungsi dan operasi yang kerap dihadirkan sebagai soal dalam konteks pengujian kompetensi yang berorientasi pada penyelesaian soal yang berhenti pada salah benarnya jawaban.

Idealnya jadikanlah kompetensi matematika sebagai bagian dari kapasitas dalam menghadirkan solusi dan inovasi kehidupan dalam berbagai tingkatan dan dimensi. Karena tidak ada sistematika dalam kehidupan yang tidak bisa didekati dengan kaidah-kaidah matematika.